Bugün Twitter’da 1955 yılında, İstanbul Teknik Üniversitesi’ne (İTÜ) kabul sınavı olduğu edilen bir döküman paylaşıldı. Döküman, günümüzdeki hızlıca çok soru çöz sisteminin aksine, detaylı sorular içeriyor. Ekşisözlük‘te ve Twitter‘da çok konuşulan bu dökümandaki soruları çözerek kendimi test etmek istedim.

Soru 2 ve 3’ü ekledim. Soru 1 ve 4’ü vakit bulunca ekleyeceğim.

Soru 2:

    \begin{equation*}y = \dfrac{2x^2 + ax + b}{x - 2}\end{equation*}

fonksiyonu veriliyor. a ve b‘yi o suretle tayin ediniz ki payın paydaya bölümü 2 kalanını versin ve fonksiyon x = 3 için bir minimumu haiz olsun. a ve b için bulunan değerleri yerine koyunuz ve grafiği çiziniz. Eğrinin y = mx doğrusuna paralel teğetlerinin sayısını (m ‘nin muhtelif değerlerine göre) irdeleyiniz.

Not: Orijinal dökümanda minimum yerine maksimum olduğu belirtilmiştir. Ancak bu mümkün değildir (yanıta bakınız). Kanaatimce yazım hatası yapılmıştır.

Yanıt: Polinom bölmesinden (bkz: polynomial long division),

    \begin{equation*}y(x) = \dfrac{2x^2 + ax + b}{x - 2} = 2x + a + 4 + \dfrac{2a + b + 8}{x-2}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus {2},\end{equation*}

ve kalan 2a + b + 8 = 2 olmalıdır. Öte yandan, fonksiyonun türevi

(1)   \begin{equation*}y^\prime(x) = 2 - \dfrac{2a + b + 8}{(x-2)^{2}}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus {2},\end{equation*}

olarak tanımlanır. x = 3‘ün kritik bir nokta olması için y^\prime(3) = 0 olmalıdır (bkz: critical point). Buradan da 2a + b = -6 eşitliği çıkar (bu eşitlik için y^{\prime \prime}(3) > 0‘dır ve y(3) bir lokal minimumdur (bkz: second derivative test)). Bu eşitliği sağlayan herhangi a ve b gerçel sayıları istenilen sonucu verecektir. b = 0 ve a = -3 değerleri için grafik Şekil 1’de verilmiştir.

Şekil 2. a = -3 ve b = 0 için fonksiyonun grafiği. x = 3 noktasında y(3) = 9 yerel bir minimumdur.

Eğrinin y = mx doğrusuna paralel teğetleri türev üzerinden gösterilir, y^{\prime}(x) = m (bkz: tangent). Denklem (1)’de, bütün gerçel x degerleri icin (x-2)^{2} > 0. Dolayisiyla y^{\prime}(x) \in (-\infty, 2)‘dir. Öte yandan y^{\prime}(2+x) = y^{\prime}(2-x) olduğu için, m \in (-\infty, 2) kümesindeki her bir eğim için iki adet teğet noktası bulunmaktadır. Fonksiyon y(x), m = 2 eğimli doğrulara asimptottur (bkz: asymptote). m > 2 eğimli doğrularla hiç bir yerde teğet olmamaktadır.

Soru 3: Denklemi

(2)   \begin{equation*}\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\end{equation*}

olan elipsin, x ve y pozitif eksenleri arasındaki dörtte biri üzerinde alınan M(\alpha, \beta) noktasına ait teğet ve normali çiziliyor. Orijinden O(0, 0) teğete OT ve normale ON dikmeleri indiriliyor. ONMT dik dörtgeninin alanını maksimum kılacak Mnoktasının koordinatlarını a ve b cinsinden hesaplayınız.

Yanıt: Şekil 3’deki taralı alan, soruda maksimize edilmek istenen alandır. Genelliği kaybetmeden, a \geq b kabul edelim. İki adet vektör uzayını (bkz: vector space)

    \begin{align*}L_1 &= \left\lbrace (x,y) ~|~ \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] =  t \left[ \begin{matrix} - \beta a^2/r \\ \alpha b^2/r \end{matrix} \right], \, t \in \mathbb{R}  \right \rbrace,\\L_2 &= \left\lbrace (x,y) ~|~ \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = t \left[ \begin{matrix}  \alpha b^2/r \\ \beta a^2/r \end{matrix} \right], \, t \in \mathbb{R} \right\rbrace,\end{align*}

r = \sqrt{\beta^2 a^4 + \alpha^2 b^4} olacak şekilde tanımlayalım. M noktasından elipse teğet olan çizgi M + L_1 kümesidir (bkz: ellipse). T noktası hem M + L_1 hem de L_2 kümesine aittir, T \in M + L_1 (t = \vert MT \vert için) ve T \in L_2 (t = \vert OT \vert için). Dolayısıyla,

    \begin{equation*}\left[ \begin{matrix} a^2 \beta /r  & b^2 \alpha /r \\ -b^2 \alpha /r & a^2 \beta /r \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \vert MT \vert \\ \vert OT \vert \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \alpha \\ \beta \end{matrix} \right]\end{equation*}

denklem kümesi ile dikdörtgenin kenar uzunlukları bulunur. Yukarıdaki matris, r normalizasyonu sayesinde orgonal bir matristir (bkz: orthogonal matrix) ve tersi kendisinin transpozudur. Denklemi çözdüğümüzde,

    \begin{align*}\vert MT \vert &= \dfrac{a^2 \alpha \beta}{r} - \dfrac{b^2 \alpha \beta}{r}, \\\vert OT \vert &= \dfrac{b^2 \alpha^2}{r} +\dfrac{a^2 \beta^2}{r},\end{align*}

uzunluklarını buluruz. Denklem (2)’yi kullanarak tek değişken üzerinden, dikdörtgenin alanı A(\alpha)‘yı

    \begin{equation*}A(\alpha) = \dfrac{a b \left(a^2-b^2\right) \alpha \sqrt{a^2-\alpha^2} }{a^4-a^2 \alpha ^2 + b^2 \alpha ^2}\end{equation*}

olarak hesaplarız. Alan fonksiyonun türevi

    \begin{equation*}\dfrac{d A(\alpha)}{d\alpha} = \dfrac{a^3 b \left(a^2-b^2\right)\left(a^4 - a^2 \alpha ^2 - \alpha ^2 b^2\right)}{\sqrt{a^2-\alpha ^2}{\left(a^4-a^2\alpha ^2+\alpha ^2 b^2\right)}^2}\end{equation*}

sayesinde kritik noktayı a^4 - a^2 \alpha ^2 - \alpha ^2 b^2 = 0 olarak buluruz. Buradan, herhangi bir pozitif a ve b için alanı maksimum yapan elips noktası M koordinatları

    \begin{equation*}\alpha = \dfrac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \beta = \dfrac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}\end{equation*}

ve alan A(a^2/ \sqrt{a^2 + b^2}) = \vert a^2 - b^2 \vert/2 olur.


Şekil 3. Kırmızı ile taranan alan maksimize edecek M noktası tayin edilmelidir.

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here